С появлением и развитием вычислительной техники стали разрабатывать и широко внедрять в практику проектирования формы корпуса корабля и квадратной конструкции аналитические методы. Существует много способов аналитического описания линий и поверхностей на теоретическом чертеже, чтобы их можно было представить в виде уравнений, совокупность которых представляет собой математическую модель формы корпуса. В корабельных САПР контуры корпуса генерируются на основе заданных конструктивных характеристик корабля, таких как:
- Длина между перпендикулярами;
- Высота борта на мидель-шпангоуте;
- Максимальная ширина;
- Черновик;
- Коэффициенты общей полноты и полноты мидель-шпангоута;
- Абсцисса центра величины;
- Ширина горизонтального киля;
- Радиус скул;
- Длина цилиндрической вставки и ее пределы;
- Длина передней и задней частей корпуса от пределов цилиндрической вставки до перпендикуляров;
- Объем и размер луковицы;
- Диаметр винта;
- Характеристики кормового зазора;
- Формовочные линии для шин и стержней и т.д.
В некоторых САПР количество таких конструктивных характеристик судна превышает 80.
Чаще всего уравнения ватерлиний и шпангоутов задаются в виде полиномов (сплайнов) кубической и более высоких степеней. Также можно использовать уравнения полушироты вида:
y(x) = a + in + c × em + nx × (k + Ɩx)
Где:
- e — основание натуральных логарифмов;
- Коэффициенты a, b, c, k, Ɩ, m и n являются функциями осадки судна.
Математическая модель формы корпуса также может быть представлена в виде системы уравнений, аппроксимирующих теоретические линии, заданные таблицей ординат теоретического чертежа. Координаты точек линий на теоретическом чертеже и линий формообразования корпуса (пней и основной палубы) образуют цифровую модель формы корпуса — основу для создания приближенной математической модели.
Вышеуказанные способы задания формы корпуса приняты в современных САПР. Однако ни одна из существующих систем автоматической генерации обводов корпуса не обеспечивает их согласованности и плавности, особенно на оконечностях судна. Согласование и нивелирование теоретических обводов корпуса осуществляется в этих системах в интерактивном режиме на ПК.
Кроме того, после совмещения и нивелирования строп изготавливается деревянная модель корпуса, которую буксируют в испытательном бассейне для определения сопротивления воды при различных скоростях движения судна. По результатам буксировочных испытаний корректируется форма обводов в отдельных участках корпуса.
Для замены трудоемких графических операций согласования и сглаживания обводов корпуса разработаны и внедрены в судостроительную практику графоаналитические методы, позволяющие использовать вычислительную технику.
Для совместного сглаживания кривых, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях, например ватерлиний и шпангоутов, можно использовать достаточно простой прием разностей таблично заданных функций. Для ватерлинии (или шпангоута) равноотстоящих полуширот yi конечные разности (рис. 1) имеют первый и второй порядок:
∆уi = yi+1 – yi, ∆2уi = ∆i+1 – ∆i
Если полушироты не равны, используются разделенные разности первого и второго порядка
δyi=yi+1–yixi+1–xi; δ2yi=yi+1–δyixi+2–xi
Свойства разностей аналогичны свойствам производных аналитических непрерывных функций, поэтому, вычисляя и анализируя величины и знаки разностей, можно судить о гладкости кривой. Критерии гладкости заключаются в том, что первая и вторая разности должны монотонно возрастать или убывать, а вторая разность не должна менять знак.
Рис. 1 носовая ветвь ватерлинии
Немонотонное изменение значений остальных разностей свидетельствует о скрытой неравномерности, то есть о немонотонном изменении кривизны кривой на разных участках, а изменение знака остальных разностей свидетельствует о наличии точек перегиба, где другие различия исчезают.
Процесс сглаживания на основе разностного метода состоит из вычисления первой и второй разностей, их анализа и, при необходимости, внесения поправок в значения полушироты с повторным пересчетом первой и второй разностей до достижения критериев однородности. В этом случае выравнивание водоводов и шпангоутов осуществляется совместно.
Новые полушироты не должны отклоняться от исходных более чем на величину поправки εi, предел изменения которой составляет от +20 до ±30 мм для предотвращения резкого изменения формы корпуса, отражающегося в теоретический рисунок. На основании этого чертежа при проектировании корабля проводятся судостроительные расчеты, изменения результатов которых также не должны превышать допустимых значений. Аналогичным образом осуществляется процесс разглаживания ягодиц.
В современных системах генерации контуров корпуса сглаживание выполняется в диалоговом режиме. ПК вычисляет и выводит на дисплей кривую остальных разностей, по гладкости которой оператор судит о плавности ватерлинии. При необходимости сглаживая кривую до других перепадов, оператор пересчитывает полуширину ватерлинии и выводит ее на экран.
Диалог продолжается до тех пор, пока линии воды (рамки) не станут, по мнению оператора, достаточно ровными. При проведении поправок на полушироту следует учитывать их влияние на гладкость шпангоутов и кормов, которую необходимо проверять так же, как гладкость ватерлиний.
Математическая модель формы корпуса, обводы которого сглажены разностным методом, может быть представлена системой уравнений типа, аппроксимирующей ватерлинию и шпангоуты в сечениях.
у — Ах3 + Вх2 + Сх + Д
Коэффициенты А, В, С, D для каждого участка определяются из решения системы четырех уравнений. Например, для участка i, i+1 на рис. 1.
- yi = Ai xi3 = Bi xi2 + Ci xi + Di ;
- yi = Ai x3i+1 = Bi x2i+1 + Ci xi+1 + Di ;
- y”i = 6Ai xi + 2Bi ;
- y’i+1 = 6Ai xi+1 + 2Bi .
В этих уравнениях xi и xi+1 — абсциссы начальной и конечной точек сечения, а yi и yi+1 — полушироты этих точек. Вторые производные y’i и y’i+1 определяются из решения системы уравнений (1), известной из теории разностей. Например, для сглаженной ватерлинии, показанной на рис. 1.
y’0 + 4y’1 + y’2 = 6 δy’12 ;
y’1 + 4y’2 + y’3 = 6 δy’22 ;
…………… (1)
…………….
y’n-2 + 4y’n-1 + y’n = 6 δy2n-1 .
В системе (1) количество неизвестных на два больше количества уравнений, поэтому для ее решения ставятся граничные условия. Кривизна в точке 0 выхода из ватерлинии цилиндрической вставки равна нулю, а в точке n равна 1/r, где r — радиус сечения форштевня в точке n. Следовательно, y’0 =0 , и y’n = 1/ r, а количество неизвестных вторых производных равно количеству уравнений.
Второй подход к решению задач аппроксимации и сглаживания теоретических кривых волочения основан на математическом моделировании криволинейной рейки. Для нанесения контуров корпуса на теоретическом чертеже или на угольнике используют длинные тонкие гибкие деревянные или пластмассовые рейки. Их сгибают и прижимают грузиками в точках, по которым проведены кривые. Криволинейный рельс подобен многоопорной неразрезной балке со смещенными относительно друг друга опорами (рис. 1).
Участки линии криволинейного рельса между опорными точками описываются, как показано ниже, уравнениями кубических парабол, поэтому их использование для аппроксимации точечно заданных линий называется методом кубических сплайнов (от англ spline — рельс) . Метод сплайна также можно использовать для сглаживания теоретических линий корпуса, заданных таблицей ординат и теоретическим чертежом.
В точках прижатия рельса к плоскости стола действуют изгибающие моменты Mi силы трения и реакции опор R. Известно, что для ненагруженной внешней нагрузочной балки постоянного сечения с жесткостью EI при смещении абсолютно жестких опор для i-й опоры уравнения для трех моментов имеют вид:
Mi–1Ɩi+2Mi(Ɩi+Ɩi+1)+Mi+1Ɩi+1=6EI(yi–1–yiƖi–yi–yi+1Ɩi+1) (2)
Где:
- i = 2, 3,…, n – 1.
Для поддержки 0 в целом:
(2M0+M1)Ɩ1=6EI(y1–y0⌡1–y0′) (2а)
Для n-й поддержки в целом:
(Mn–1+2Mn)Ɩn=6EI(yn’–yn–yn–1Ɩn) (2b)
Если криволинейная часть ватерлинии в точке 0 совпадает с частью цилиндрической вставки, т е с частью, параллельной оси x, то y’0 = 0. В точке n производная будет:
у’0= тг
Где:
- an — угол между касательной к ватерлинии в точке n и осью x.
Названные граничные условия соответствуют жесткому креплению обрешетки на крайних опорах. На каждом участке изгиба рельса его прогибы малы по сравнению с длиной участка. Тогда, как известно, кривизна
1/R(x) ≈ y'(x)
Где:
- R(x) — радиус кривизны.
Изгибающие моменты M(x) = EJ y'(x). Если оперировать рельсом, для которого принято EJ = 1, то y'(x) = M(x), т.е вторая производная линии упругости рельса в каждой его точке равна изгибающему моменту или кривизна линии в этих точках. При отсутствии внешней нагрузки в пролете балки изгибающие моменты вдоль пролетов изменяются линейно. Пренебрегаем силами трения между рельсом и столом в границах между опорными точками, после чего для сечения xi сечения i — 1, d (см рис. 1) можно написать:
y'(x)=M(x)=Mi–1xi–xƖi+Mix–xi–1Ɩi (3)
Двукратное интегрирование (3) учитывает граничные условия y(xi–1) = yi–1; y(xi) = yi, получаем уравнение изгиба рельса в сечении i-1, т.е кубический сплайн:
y(x)=Mi–1(xi–x)36Ɩi+Mi(x–xi–1)36Ɩi+(yi–1–Mi–1Ɩi26)xi–xƖi+(yi–MiƖi26)x–xi–1Ɩi (4)
Таких уравнений будет столько, сколько разделов. Входящие в них опорные моменты определяются путем решения системы уравнений с тремя моментами с учетом граничных условий на крайних опорах. Однако перед получением окончательных уравнений (4) необходимо проверить и обеспечить гладкость линий, для чего должны выполняться критерии гладкости, аналогичные критериям различия табличных кривых.
При наличии S-образных ватерлиний и шпангоутов их следует разделять заданной точкой перегиба и рассматривать их выпуклую и вогнутую части отдельно. Под монотонным увеличением у'(х) понимается, например, ватерлиния на рис. 1, выполнение условия, на основании которого можно считать, что величины у'(х) также изменяются монотонно.
y’n > y’n-1 > y’n-2 > … > y’i+1 > y’i > y’i-1 >… > y’1 > y’2 > y’1 (5)
Выравнивание ватерлинии происходит следующим образом. По начальным значениям полушироты yi, полученным из таблицы ординат, и заданным граничным условиям y0 = 0 и y’n = tgan решаются системы уравнений (2) — (4), и в первом приближении все Мi = y’i определены. Затем y’i — анализируются по их знаку и выполнению условия (5).
Если некоторые у’ имеют знаки, противоположные остальным у’, а условие (5) не выполняется, то значения у’ корректируются, т.е приводятся к условию (5) и тем же знакам, которые соответствуют уравниванию диаграммы моментов Мi, ограниченной осью абсцисс и восходящей ломаной, состоящей из прямых отрезков между опорными точками кривой.
Взяв сглаженные значения y’i — и оставив неизменными значения остальных y’i, рассчитать новые значения для половины градуса широты yi путем решения системы уравнений (2) — (2, б) уважая их. При этом y0 и y’n принимаются равными начальным значениям. Моменты Mi в системе (2) — (2, б) в этом случае известны. Полушироты yi неизвестны. Новые значения yi сравниваются с исходными. Их разница не должна превышать отмеченную ранее поправку ±εi.
Соответственно выполняется выравнивание рам и задней части. При этом оценивается взаимное влияние введенных поправок на гладкость всех кривых. Сглаживание кривых вдоль рельса, как и при использовании разностей, осуществляется в интерактивном режиме между оператором и ПК.
Часть ватерлинии, идентичная изображению на экране ПК, показана на рис. 2. Страница состоит из 4 частей, разделенных на 10 интервалов каждая. Перпендикуляры, равные значениям у'(х), отражающим кривизну ватерлинии, восстанавливаются в точках разделения. Для отображения на экране они зашкаливают. Из рис. 2а видно, что значения y'(x) уменьшаются на третьем участке, а затем снова увеличиваются. В точке (i) y'(x) = 0, и тогда величины y'(x) становятся отрицательными.
Соответственно кривая на участке 3 имеет скрытую негладкость, а в точке i — точку перегиба. Оператор, меняющий кривизну ватерлинии, добивается ее равномерности, т е монотонного увеличения перпендикуляров по всей ватерлинии (рис. 2, б), что легко наблюдать визуально. После сглаживания ватерлинии определяются окончательные значения Ми и составляются уравнения (4) для каждого участка ватерлинии.
Рис. 2 Фрагмент изображения ватерлинии
а — не сглаженный;
б — сглаженный
Подставляя в эти уравнения абсцисс структурных репер xi, вычисляют их полушироты. Таким же образом формируются уравнения для шпангоутов и кормы, которые вместе с уравнениями для ватерлиний представляют собой математическую модель корпуса в приближенном виде.
Для построения теоретического чертежа на чертежной машине кубические сплайны аппроксимируются дугами окружности, как показано на рис. 3. Для этого на каждом сечении через точки А и В проводят дуги двух окружностей, которые сопрягаются в точке К. Координаты (хА, уА), (хВ, уВ) и градиенты касательных у'(xA)) и y'(xB) известны из сплайна.
Задача решается на ПК итерационно с оценкой качества аппроксимации. Качество проверяется сравнением заштрихованной площади S с найденной в процессе решения задачи суммарной площадью двух круговых колец шириной δ и радиусами RA и RB:
S < (αRA + βRB)δ
Где:
- δ — максимально допустимое отклонение дуг окружности от шлица;
- α и β — центральные углы.
Радиусы:
RA≈1yA'(xA) и RB≈1yB'(xB)
Где:
- y’A(xA) и y’B(xB) — вторые производные сплайна в точках A и B.
Перемещение рабочего органа к кузовным частям осуществляется системой ЧПУ по хордам. Максимальная длина хорды зависит от допуска ƒ для аппроксимации дуг окружности хордами. Для обеспечения плавности линий, т е незначительной величины «среза», принимается ƒ = 0,3 мм.
Из треугольника O1 AD, пренебрегая очень малой величиной ƒ2А = 0,09 мм2, можно получить:
ƖA≈22RAƒA
Или, подставив ƒA = 0,03 мм, получим:
ƖA≈20,6RA
Сходным образом:
ƖВ=20,6РБ
Центральный угол того же треугольника равен:
α=2arctgƖA/2RA2–(ƖA2)
Сходным образом:
β=2arctgƖB/2RB2–(ƖB2)
Получив математическую модель корпуса корабля, приступают к решению тех же задач, что и после аварии на Плазе. Выполнять решения на чертежных машинах с использованием ПК и математических методов.
Рис. 3 Приближение кубического многочлена окружностями
1 — касательная;
2 — кубический шлиц;
3 — дуги окружностей;
4 — аккорды
При определении формы и размеров корпусных деталей необходимо предварительное прослеживание канавок в наружной обшивке и теоретических линий продольного набора. Слежение за гусеницами заключается в вычислении координат точек пересечения гусениц на проекции «корпуса» с линиями шпангоутов и стыков. Треки на проекции «тела», как показано на рис. 4, в разрезе или через все тело принимают прямыми или в виде слегка изогнутых линий.
Поскольку каждый участок кадра между ватерлиниями аппроксимируется своим уравнением, их общее количество по всем шпангоутам очень велико, что усложняет задачу отслеживания следов. Для упрощения целесообразно каждый кадр разбить на несколько участков и аппроксимировать каждый участок кубическим полиномом вида:
zwn = Ay3 + By2 + Ay + D
Неизвестные коэффициенты A, B, C, D можно вычислить, решив четыре уравнения, для чего необходимо использовать известные координаты четырех точек в сечении кадра.
Для прямолинейных следов на проекции «тело» берутся уравнения прямой:
zп = ky + b
Где:
k=ze-zdye-yd; б = зд-кид
Координаты точек e и d должны быть известны. Если след криволинейный, он задается в виде квадратичного или кубического многочлена:
zп = Ay2 + By + C
Или:
zp = Ay3 + By2 + Su + D
Неизвестные коэффициенты А, В, С и D, входящие в полиномы, могут быть вычислены путем решения систем трех или четырех уравнений с известными координатами для трех или четырех точек проекции пути, например точек а, b, с, Я.
Рис. 4 Фрагмент выступа «тело» с прямолинейной и криволинейной канавками
Решая для каждой системы уравнений zп = zшп, можно определить координаты yn точек пересечения пути с шпангоутами, а подставив эти координаты в уравнение пути, определить ординаты zп. Точки путей могут задаваться и криволинейными координатами, т е длинами дуг шпангоутов или стыков, особенно длинами sa, sd и т д., в виде размерной цепочки от ДП корабля. При этом координаты указанных точек определяются как верхний предел интеграла, по которому рассчитывается длина дуги:
s=∫yhyb1+zSHP’2dy (6)
Где:
- z’shp — первая производная уравнения, которым аппроксимируется система отсчета.
Расчет размеров плоских деталей рассмотрим на примере нижней тетивы, показанной на рис. 5, плоскость которого перпендикулярна OP и наклонена к DP и PMS.
Рис. 5 Для расчета контура стрингера перпендикулярно ОП
а — стрингер на выступе «корпус»;
б — контур и размеры стрингера
Все шпангоуты аппроксимируются уравнениями так же, как теоретическая линия стрингера — линия пересечения плоскости внутренней поверхности наружной обшивки. Совместное решение уравнений позволяет определить координаты y и z точек a, c, d, e, b.Вычитая координаты z этих точек из высоты второго дна zd, можно найти значение отрезков hi = zd -z. Растянутое расстояние:
РШ=∆y2+Ш2
Где:
- ∆y=yb–ya4
Зная hi и РШ, можно построить контур стрингера и проставить размеры. Здесь ya и yb — полуширины точек a и b.
Рис. 6 Для расчета контура стрингера, наклоненного к трем основным плоскостям проекций
а — стрингер на выступе «корпус»;
б — контур и размеры стрингера
Рассмотрим случай, когда деталь, показанная на рис. 6 наклонена ко всем трем основным плоскостям корпуса корабля. Координаты точек a, c, d, e, b находятся так же, как и в предыдущем случае. Линии пересечения стрингера с плоскостями шпангоутов параллельны друг другу. Рассчитать sinα необходимо по формуле:
sinα=y0–y0′(ya–ya’)2+(zd–za)2
Затем:
∆y=yb’–ya’4cosα; hi=zd–zicosα; 0α’=(yb’–ya’)sinα
Из этих данных, как видно из рис. 6б можно однозначно указать контур и размеры стрингера.
Ранее был рассмотрен графический способ распределения частей двойной кривизны методом геодезических линий. Такие детали можно аналитически развернуть по методу наименьшей площади. Используя метод наименьших площадей, как показано на рис. 7 поверхность детали аппроксимируется многогранной поверхностью. Ребра поверхности — это отрезки, соединяющие подточки фреймов, а грани — треугольники. Фактически используется метод поверхностной триангуляции.
Все репера аппроксимируются кубическими полиномами с коэффициентами Ai, Bi, Ci, Di, определяемыми решением систем уравнений:
Ay31 + By21 + Cy1 + D = z1 ;
Ay3n + By2n + Сun + D = zn ;
6Ax1 + 2B = z’1 ;
6Axn + 2B = z’n .
Где:
- y1, z1, …, yi, zi,… yn, zn — координаты точек разделения в системе координат корпуса корабля 0zyx;
- z1, zn — значения вторых производных в точках трека, полученные при решении задачи трассирования трека.
Длина Ɩi каждой рамы между верхней и нижней дорожкой рассчитывается по формуле (6). По нему также вычисляют длину осевых линий шпангоутных полос, равную половине суммы длин дуг образующих их шпангоутов.
Рис. 7 Развертка детали двойной кривизны по методу наименьшей площади
а — разборная часть (в аксонометрии);
б — проходит в первой полосе второй;
в — смещение второй полосы влево
Из всех полос выбирается полоса с максимальной длиной по центральной линии и делится на N частей, каждая из которых состоит из двух треугольников. Обычно принимают N = 10 (на рис. 7 для простоты принято N = 5). Определить координаты точек разделения шпангоутов указанной полосы, равные верхнему пределу интеграла (6), при длинах дуг si = Ɩi/10; 2Ɩi/10; …; 9Ɩi/10 также использует формулу (6).
Когда вы знаете y, вы можете вычислить z-координаты тех же точек. Координаты X точек разделения каждого кадра определяются в системе координат 0zyx с началом в плоскости z0y, как расстояния, кратные расстоянию. Имея значения координат вершин треугольников, вычислить их площади. Например, площадь треугольника ifk (рис. 7, б)
Sifk=1/2yi(zƒ–zk)+yƒ(zk–zi)+yk(zi–zƒ)
Тогда первое значение общей площади полосы:
S1=∑n=1n=2Navg
Затем полоса делится на N+1 частей, и аналогичным образом вычисляются координаты точек разделения, площади треугольников и второе значение общей площади полосы S2. Если S2 – S1 меньше принятого из практики значения точности аппроксимации поверхности сечения δ, число сегментов разделения для всех полос окончательно считается равным N. В противном случае процесс деления на большее число сегментов продолжается до тех пор, пока не будет достигнуто принятое значение точности аппроксимации.
Значение точности считается достаточным, если выполняется условие δ ≤ (0,0001 – 0,001). После окончания итерационного процесса и определения количества участков разделения полос рассчитывают длины ребер треугольников. Например, ребра d1, d2, d3 треугольника 1, 2, 3 (рис. 7, а):
d1=(x2-x1)2+(y2-ил)2+(z2-z1)2d2=(x3-x2)2+(y3-y2)2+(z3-z2)2d3=(x3-x1)2 +(y3—ил)2+(z3—z1)2
Процесс собственно развертывания многогранной поверхности начинается с развертывания ее отдельных полос на плоскости. Развертка каждой полосы заключается в последовательном соединении соседних треугольников, составляющих полосу, в плоской системе координат y0z (рис. 7, б). Для этого вычисляют координаты вершин треугольника в собственной, связанной с первым треугольником плоской системе координат η0С, которую выбирают так, чтобы начало координат совпадало с вершиной 1, а ось η0 совпадала со сторонами 1-2 первого треугольника.
Таким образом, отдельная система координат η0С первой полосы совпадает с общей системой координат y0z. Из принятого способа выбора правильной системы координат для первой полосы следует, что координаты точек 1 и 2 равны C1= Z1 = C2 = Z2 = 0, а координата точки 2 равна η2 = y2 = d1. Координаты точки 3 вычисляются из очевидной системы уравнений:
y23 + z23 = d23 и (y3 – y2)2 + z23 = d23
Затем второй треугольник стыкуется с первым, то есть вычисляются координаты вершины 4 в системе координат y0z, третьего треугольника со вторым и т д. Координаты точки 4 вычисляются из системы уравнений:
y24 + z24 = d24 и (y3 – y4)2 + (z4 – z3)2 = d27
В общем случае координаты точки j вычисляются из системы уравнений:
(yj – yi)2+ (zj – zi)2 = d2i и (yj – y4)2 + (zj – z4)2 = d27
И так до тех пор, пока не будут вычислены координаты всех вершин треугольников первой полосы в общей системе координат y0z.
Таким же образом вычислите координаты вершин треугольников каждой из полос в своей системе координат. В результате полного перебора всех треугольников первой полосы получается ее развертка на плоскости y0z. Затем первая полоса «накатывается» на вторую полосу (рис. 7, б) и вычисляются заштрихованные участки «отрыва». Конечным положением из всех возможных будет положение второй полосы, где площадь «разъединения» будет наименьшей.
Площади «расстыковки» также разбиваются на треугольники, после чего вычисляется сумма их площадей. Для определения площадей координаты вершин треугольников второй «катаной» полосы пересчитываются для каждого ее положения из своей системы координат η0С с началом в точке 2 в общую систему координат y0z «катаной» полосы по формулам преобразования координат. Например, для пункта i:
yi = y0 + ηi cosα – Сi sinα ;
zi = z0 + ηi sinα – Сi cosα .
Где:
y0 = yi + ηi cosα + Сi sinα; (7)
z0 = zi + ηi sinα – Сi cosα . (8)
В выражениях (7) и (8) y0, z0 и угол α неизвестны. Для их определения вычисляют тригонометрические функции угла α = γ – β, где, как следует из диаграммы наклона осей на рис. 7б, γ и β — углы наклона ребра ij к осям 0η и 0y. Затем:
sinα = cosα(γ – β) = sinγ cosβ – sinβ cosγ (9)
cosα = sinα(γ – β) = sinγ cosβ – sinγ cosβ (10)
sinγ=zj–zidi, cosγ=yj–yidi (11)sinβ=Cj–Cidi, cosβ=ηj–ηidi (12)
Заменив (11 и 12) на (9 и 10), получим:
sinα=z×η–y×Cdi2, cosα=y×η+z×Cdi (13)
Где:
- y = yj — yi ;
- z = zj – zi ;
- η = ηj – ηi ;
- С = Cj — Ci .
Значения y0 и z0 определяются после подстановки (13) в (7) и (8). Далее по формулам преобразования координат вычисляются координаты вершин треугольников второй полосы в общей системе координат y0z для всех положений этой полосы относительно первой. Например, для точки «k» координаты yk и zk получаются путем решения системы уравнений:
(yk – y0)2 + (zk – z0)2 = d210 ;
(yk – yi)2+ (zk – zi)2 = d212 .
Площади заштрихованных треугольников рассчитываются по формулам, аналогичным формуле для sifk. Коррекция контура развертки с учетом пластических деформаций изгиба осуществляется последовательными подходами. Как следует из рис. 7в, вторую полосу сдвигают влево на некоторую величину ∆yi, пересчитывают координаты в точках контура второй полосы и определяют площади заштрихованных областей acd, bef и ab, а также отношение суммы площади acd и bef к площади ab.
По практике, для парусообразной детали оно должно быть 1:3. Если это условие не выполняется, полоса снова сдвигается на величину ∆yi, шаг итерации, и аппроксимации повторяются до тех пор, пока не будет выполнено заданное соотношение. После уравнивания вычисляются окончательные координаты прорезанных вершин треугольников, но с которыми вычисляется контур развертки и выводится на экран ПК.
Математическая модель резки профильной стали создается на основе выполнения двух условий:
max Zj=∑i=1i=nƖixij ;∑i=1i=nƖixij≤Lj(Lj≥Lj+1)
Где:
- Zj — целевая функция, представляющая общую длину заготовок;
- xij=1, если i-я деталь отстегивается от j-й заготовки0 — иначе;
- Ɩj – длина i-й части;
- Lj – длина j-го предмета;
- n — количество частей.
Задача решается последовательно для каждой заготовки, что позволяет учесть несколько вариантов длины заготовок. Условие Lj ≥ Lj+1 приводит к рациональному построению алгоритмов резки и снижает вероятность того, что для какой-либо детали не будет найдена заготовка эквивалентной длины, так как весь металл уже использован для резки более коротких деталей.
Раскрой листового металла производится путем перебора вариантов размещения деталей на картах раскроя, т.е ручной (графический) раскрой математически моделируется на ПК. Перед составлением карты раскроя сначала упрощают контуры деталей: криволинейные контуры деталей заменяют пунктирными линиями, мелкие вырезы исключают, крупные внутренние вырезы заменяют вписанными многоугольниками.
ПК помещает первую большую деталь в прямоугольник нарисованного пользовательского листа и преобразует собственные координаты детали в систему координат листа. Затем методом последовательных перемещений и поворотов к ней присоединяется другая часть до выполнения критерия размещения. После этого две части объединяются в общую цепь, к ним присоединяется третья часть и т д.
Небольшие группы деталей плотно упаковываются в прямоугольники — фрагменты пересекающихся карт — с последующим размещением полученных фрагментов в пределах заданных пользовательских листов. Можно создать несколько вариантов планов раскроя.
Карты раскроя, сформированные и принятые технологами для визуального наблюдения, вычерчиваются графопостроителем. При неудовлетворительном коэффициенте использования металла (менее 0,82-0,86) хозяйственные отходы и свободные площади на картах раскроя заполняются вручную или эти карты разбираются, а детали собираются для размещения в следующей группе совместного раскроя.
Получение геометрических данных о форме шаблонов кроватей для сборки секций зависит от расположения плоскости днища кроватей.
Рис. 8 Для расчета высоты лекал двуспальной укороченной грядки
В случаях, когда плоскость дна кровати (например, для монтажа боковой или нижней секции) параллельна диаметральной или основной плоскостям, форму лекал или высоту стоек кровати определяют в главной системе координат корабля. Когда криволинейные боковые секции имеют значительную кривизну, плоскость наклоняют к низу станины для уменьшения высоты лекал или стоек и удобного, близкого к горизонтальному, положения секций в станине. Подставка, на которую устанавливаются съемные модели, имеет тогда высоту 0,7-0,8 м. Такую же высоту имеет реечное ложе.
На рис. 8 показан двойной усеченный слой, базовая плоскость которого наклонена в сторону ПМШик ДП. Его узоры лежат в плоскостях шпангоутов под углом φ к плоскости земли. Положение заземляющей плоскости определяется полушириной yi трех точек, например точек 1′, 2′ и 3′, отделенных от точек 1, 2 и 3 в кадрах на ∆y1, ∆y2 и ∆y3 , подобранный таким образом, чтобы наименьшая высота на выкройках была более 200 мм. Высоты точек узоров определяются по формуле:
привет = di/sinφ
Где:
- di — расстояние до точки i от плоскости земли по перпендикуляру к ней.
Расстояние до внешних точек обшивки от базовой плоскости:
di=xiTcosα+yiTcosβ+ziTcosγ–p (14)
Где:
- p — длина перпендикуляра, опушенного от начала координат до плоскости основания;
- xiТ yiТ ziТ – теоретические (место) координаты точки ii в базовой системе координат корабля;
- α, γ, β — углы между осями координат и перпендикуляром p.
За координаты xiТ yiТ ziТ следует принимать точки каркасов конструкций в местах пересечения с водоводами.
Рис. 9 Проверить форму боковой части
Для определения трех неизвестных косинусов и длины перпендикуляра необходимо составить и решить систему, состоящую из четырех уравнений, по формуле для di, учитывая, что точки di 1′, 2′ и 3′ равны нулю, поскольку эти точки находятся в плоскости земли, а их полушироты
y’ = yiT + ∆yi
Где:
- я = 1,2,3.
В качестве четвертого уравнения используется равенство:
cos2α + cos2β -cos2γ = 1
Угол φ между базовой плоскостью станины и плоскостями шпангоутов равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям (перпендикулярным к p и оси 0x), т е. φ = α. Определив косинусы угла и значение p, можно вычислить di и hi для всех точек ii схемы грядки.
Для проверки формы сечения на плате, занимающего согласно рис. 9 произвольного положения опор в цеху, необходимо рассчитать отклонения ∆yi фактических полуширот точек наружной поверхности обшивки yif от их теоретических (пластических) значений yiT по формуле:
∆yi=yiT–yiФ=yiT1cosβ(di–xiTcosα–ziTcosγ+p)
Где:
- di — расстояние по вертикали проверяемой i-й точки от горизонтальной базовой плоскости, проходящей через самую высокую точку сечения в плоскости, до крайней рамы (значение di измеряется с помощью теодолита или нивелира).
Косинусы углов α, γ и β между основной горизонтальной плоскостью и главными плоскостями проекций корабля, т е между перпендикуляром p и главными осями координат, можно определить, совместно решая систему, состоящую из трех уравнений, составленных по формуле к (14) для точек 0 (d0=0), 1 и 2 (величины d1 и d2 измеряются на сечениях), и равенства для суммы квадратов косинусов углов.
