Уравнения движения судна

Векторные и кинематические уравнения в инерциальной системе отсчета. Для разработки уравнений движения корабля, необходимых для изучения маневренности корабля, необходимо прежде всего выбрать систему отсчета: инерциальную (неподвижную) или неинерциальную (подвижную).

Если рассматривать движение судна в инерциальной системе отсчета, то уравнение движения в общем случае определяется на основе второго закона динамики двумя векторными уравнениями:

м1двдт=Ф; Форма. 1

J1=dωcdtMc Форма. 2

Первое уравнение (формула 1) представляет собой равенство главного вектора (результирующей силы Определение равнодействующей сил инерции многоцилиндрового двигателя) внешних сил F произведению массы корабля с учетом присоединенной массы воды m1, а линейное ускорение корабля dvc/dt. Это уравнение характеризует поступательное движение центра инерции или центра тяжести корабля.

Второе уравнение (формула 2) представляет собой равенство вектора главного момента внешних сил относительно вертикальной оси вращения судна Ms произведению момента инерции судна с учетом дополнительного момента инерция водных масс относительно той же оси J1 при угловом ускорении dω/dt. Это уравнение характеризует вращательное движение корабля.

Положение корабля на плоскости в инерциальной системе K с осями X0 OY0 можно определить в любой момент времени, задав радиус-вектор r0 произвольной точке на корабле O1 и курсовому углу φ0 (рис. 1). Тогда кинематические уравнения движения в инерциальной системе отсчета в полярных координатах будут иметь вид:

ро=ро(т); Форма. 3

ф0=ф0(t); Форма. 4

В теории маневренности нежесткая система отсчета К1 с началом в центре тяжести корабля и правой системой координат, где положительное направление оси О1х — направление на нос корабля, ось О1у — в сторону правого борта, а по оси r — вниз. Ось О1х совпадает с диаметральной плоскостью сосуда.

Рис. 1 Инерциальная (К) и неинерциальная (К1) системы отчетности

Для решения задачи о движении корабля необходимо знать законы действующих на корабль сил и их моментов, которые можно разделить на два вида: силы и моменты инерции (внутренние силы), возникающие от ускорений, действующих на судно корабля, а также сил и моментов гидроаэродинамической природы (внешние силы). При составлении уравнений будем считать, что движение корабля происходит в горизонтальной плоскости с изменением линейной скорости v и угловой скорости ω.

Силы и моменты инерции. В неинерционной, жестко связанной с сосудом системе отсчета К1 при движении по криволинейной траектории m—n на судно будут действовать два ускорения: линейное ωl = dv/dt и центростремительное ωc = ωv. В общем случае при движении по криволинейной траектории скорость судна уменьшается, так что вектор ускорения ωl будет направлен в сторону, противоположную вектору скорости v, а отклонение от отрицательного направления оси O1x на угол сноса β. Вектор центростремительного ускорения ωц всегда направлен в сторону вращения и отклоняется от оси O1γ на угол β.

Как видно из рис. 1, проекция векторов ωl и ωc на оси координат соответственно недревесного репера K1 равна:

ωlx=–ωlcosβ=–dvdt–cosβ=–dvxdt; Форма. 5

ωlu=ωl sinβ=ωusinβ=ωuy; Форма. 6

ωlx=ωцsinβ=ωusinβ=ωuу; Форма. 7

ωcu=ωцcosβ=ωucosβ=ωux. Форма. 8

Ускорения ωl и ωc вызовут появление сил инерции Fl и Fc, которые будут равны произведению соответствующих масс на величину ускорений и направлены в противоположную сторону ускорений (рис. 3). Обозначим коэффициенты подводимых масс воды по оси O1x-λ11, по оси O1y-λ22, тогда масса корабля с учетом подведенной массы воды по оси 01x будет равна m (1 + λ11), вдоль оси O1y — m(1 + λ22). После суммирования проекций сил инерции на оси 01x и O1y получим следующее выражение для сил инерции:

Fchl–Fch=m(1+λ11)duxdt m(1+λ22)ωuy, Form. 9

Ful–Fcu=–m(1+λ22)duуdt–m(1+λ11)ωuх. Форма. 10

Если скорость корабля по мере движения по кривой будет увеличиваться, то знаки сил Fxl и Fvl изменятся на противоположные.

При нестационарном движении по криволинейной траектории угловая скорость поворота ω является переменной величиной, поэтому судно будет испытывать угловое ускорение dω/dt = φ″. При увеличении угловой скорости судна вектор углового ускорения будет направлен вдоль вектора угловой скорости ω, т.е вниз, в сторону положительного значения оси z (рис. 2).

Рекомендуемая литература: Основы маневренности крупнотоннажных судов

Угловое ускорение вызывает появление углового момента инерции Mc, препятствующего повороту корабля.

Рис. 2 момента инерции с увеличением угловой скорости

Рис. 3 силы инерции (Fl и Fc) и их проекции на оси неинерционной системы

Угол инерции направлен в сторону, противоположную угловому ускорению, и численно равен произведению момента инерции судна (с учетом дополнительного момента инерции от водных масс) на угловое ускорение

Мi=–J(1+λ66)dωdt, форма одиннадцать

где:

• λ66 – коэффициент дополнительного момента инерции от водных масс.

Так как фактически ось вращения судна при его движении по криволинейной траектории находится не в точке О1, а в точке О2, т.е смещена к носу судна на а1, то проекции сил инерции Грипп и Fcu будут участвовать в создании моментов инерции. Проекции сил Flx и Fch пересекают ось вращения и не создают моментов.

Моменты от сил Flv и Föv вносят свой вклад в поворот корабля, поэтому их векторы MFl и MFu в соответствующем случае совпадают по направлению вектора угловой скорости и будут направлены вниз. Модули этих моментов будут равны MFl = Flua1; MFu=Fcua1. Определим суммарный момент:

MFl+MFc=m(1–λ22)dvvdtα1+m(1+λ11)ωuxα1. Форма. 12

Учитывая, что ωa1 = vv, произведение (dvv-/dt) a1 = ωvxa1 = vxvу, можно записать

MFl+MFc=m(2+λ22+λ11)uxuy. Форма. 1. 3

Если движение корабля по криволинейной траектории происходит с увеличением скорости поступательного движения, то момент изменит знак на противоположный, в этом случае будем иметь:

MFl+MFc=m(1+λ22)duydtα1+m(1+λ11)ωuxα1, Форма. 14

• или в окончательном виде

MFl+MFc=m(λ11–λ22)uxuy. Форма. 15

Суммарный момент инерции при увеличении скорости поворота судна и уменьшении линейной скорости движения будет иметь вид:

Mi+MFl+MFc=–J(1+λ66)dωdt+m(2+λ22+λ11)uxuy. Форма. 16

Этот момент при увеличении скорости поворота и линейной скорости судна будет равен:

Mi+MFl+MFc=J(1+λ66)dωdt+m(λ22–λ11)uxuy. Форма. 17

Значение этого момента дается в большинстве работ по управляемости кораблей.

Силы и моменты аэрогидродинамической природы, силы тяжести и перемещения. Все внешние силы и моменты, действующие на корабль, можно разделить на пять категорий:

• аэродинамические силы и моменты, возникающие на поверхности корпуса корабля;
• гидродинамические силы и моменты на корпус корабля;
• силы веса и перемещения;
• управляющие силы и моменты, создаваемые рулями, винтами и подруливающими устройствами;
• возмущающие силы и моменты от воздействия течений, волн, гидродинамических воздействий корпуса судна с грунтом дна и берега или корпуса другого судна.

Обычно при определении сил и моментов, действующих на корабль, принято опираться на так называемую гипотезу стационарности, согласно которой величина аэро- и гидродинамических сил полностью определяется кинематическими параметрами движения корабля при данное время. Силы и моменты, действующие при прямолинейном движении с углами дрейфа, называются позиционными, а силы и моменты, обусловленные вращением судна, — демпфирующими.

Проекции главного вектора и главного момента гидродинамических сил на оси связанной системы координат определяются по следующим формулам:

Fx1Fy1Fz1=12ρ1Su2Cx1Cy1Cz1; Форма. 18

Mx1My1Mz1=12ρ1Su2Lmx1my1mz1; Форма. 19

где:

• p1 – массовая плотность воды, кг/м2;
• S, L — площадь, м2, и длина, м, корпуса судна;
• v — скорость судна, м/с;
• Cu1, Cv1, Cz1 ​​– характеристики (коэффициенты) продольной, нормальной и поперечной гидродинамических сил соответственно;
• mх1, mу1, mg1 – характеристики (коэффициенты) гидродинамических моментов по крену, рысканию и дифференту соответственно.

Аналогично определяются проекции главного вектора и главного момента аэродинамических сил на эти же оси.

На капитанском мостике должны быть таблицы и графики, позволяющие дежурному капитану быстро произвести примерный расчет сил, действующих на корабль с учетом внешних факторов. В качестве примера (табл. 1) приведен расчет сил ветрового давления на нефтерудовоз типа «Маршал Буденный», выполненный по формуле:

Fv = 0,59Свu2в (Асcos2Θ + Bcsin2Θ), Форма. 20

где:

• FB – сила ветра, Н;
• СВ — коэффициент, учитывающий уменьшение высоты скорости ветра по высоте (по исследованиям автора, СВ=0,7 — при стоянке судна у причалов;
• СВ — = 0,8 — на свободной поверхности воды);
• >vВ — скорость ветра, м/с;
• Ас — лобовой ветер судна, м2;
• БК — боковая обмотка сосуда, м2;
• 9 — курсовой угол ветра, °.

Ниже приведена скоростная зависимость сил течения на подводную часть корпуса того же судна с осадкой 16,5 м на большой глубине.

Расчет производится по формуле:

F1=Ku2TSKsinΘ Форма. 21

где:

• FT – сила действия воды от течения, Н;
• К – коэффициент, равный 343,35;
• Sk2 — площадь боковой поверхности подводной части корпуса корабля, м2;
• v — скорость потока, м/с;
• Θ — курсовой угол течения, °.

• Скорость течения, м/с (уз) 0,25 (0,5) 0,51 (1) 1,03 (2) 1,54 (3);
• Влияние тока при Θ – 90°. 7,8·104 3,14·105 1,29·106 2,88·106.

Например, на фиг. На рис. 4 представлены графики сил сопротивления воды корпуса судна на большой глубине для танкеров большого водоизмещения при движении без учета угла дрейфа. На рис. 5 для тех же судов показаны силы торможения гребного винта на полном ходу в зависимости от скорости движения на переднем и заднем ходу. На рис. 6 приведены графики поперечных усилий на корпус нефтерудовоза «Борис Бутома», а на рис. 7 и рис. 8 — величина позиционного и демпфирующего моментов, действующих на корпус одного и того же судна в грузу (МДГР) и в балласте Mdбал в зависимости от скорости и угла хода.

Рис. 4 Сила сопротивления корпуса крупнотоннажных танкеров.
1 — танкер «Лисичанск» в грузу; 1″ — то же в балласте, 2 — нефтерудовоз «Борис Бутома» в грузе; 2″ — то же в балласте, 3 — нефтерудовоз «Маршал Жуков» в грузе; 3″ — то же в балласте

В больших тоннажах при движении на участках пути (проливы, реки), где есть течение и уклон водной поверхности, под действием веса возникают значительные силы скольжения. В практике управления судами типа «Крым» и крупнотоннажными одновинтовыми судами других типов Новороссийского морского пароходства были случаи, когда по разным техническим причинам главный двигатель мог работать только на малых оборотах, давая скорость 6-8 узлов в стоячей воде. При движении в Дарданеллах, а иногда и в Эгейском море, где скорость встречного течения не превышает 3—5 узлов, корабль останавливался с ходом 6—8 узлов относительно воды. И после многочасовых попыток преодолеть место корабль, заняв позицию под углом к ​​течению, начал дрейфовать в сторону берега. Чтобы предотвратить аварийную ситуацию, машина остановилась, а судно вышло из пролива задним ходом.

Рис. 5 Зависимость тяги гребного винта на большегрузных автоцистернах от скорости переднего и заднего хода.
1- нефтерудовоз «Маршал Жуков» на переднем курсе; 1″ — то же при движении задним ходом; 2 — нефтерудовоз «Борис Бутома» на переднем ходу; 2″ — то же при движении задним ходом; 3 — танкер «Лисичанск» на переднем курсе; 3″ — то же при движении задним ходом

После одной-двух безуспешных попыток капитаны обратились в пароходство с просьбой прислать буксир для сопровождения, а крупнотоннажное судно ждали стоянки 2-3 дня.

причиной невозможности преодоления участков пути со скоростями течения 5 уз, когда судно большой вместимости способно развивать скорость 6-8 уз, является действие силы скольжения FCK, которая, как может быть видно из рис. 9 равно:

Fck=Dsinαy, Форма. 22

где:

• D — водоизмещение веса судна, Н;
• αv – угол, характеризующий продольный уклон водной поверхности, °.

Рис. Рис. 6 Зависимость поперечной силы от скорости нефтерудовоза «Борис Бутома» при различных значениях угла дрейфа β (сплошная линия – в грузе; штриховая линия – в балласте)

Рис. Рис. 7 Зависимость позиционного момента от скорости нефтерудовоза «Борис Бутома» при различных углах привода β (сплошная линия – в нагрузке; штриховая линия – в балласте)

Рис. Рис. 8 Зависимость демпфирующего момента от скорости нефтерудовоза «Борис Бутома» при различных значениях угловой скорости v (сплошная линия – в грузе; штриховая линия – в балласте)

Рис. 9 Сила скольжения

Продольный уклон i = sin αv водной поверхности можно определить с помощью известного в гидротехнике уравнения Шези, которое имеет вид:

uT cp=CiH, форма. 23

где:

• vt.av – средняя скорость потока, м/с;
• C — коэффициент Шези, H — глубина.

Для приблизительных расчетов можно принять C≈22. Исходя из формулы 24 i = vт2/C2Н, силу скольжения, действующую на судно, для практических расчетов можно определить по формуле:

FCK=DH(uTC)2. Форма. 24

Если тяга двигателя Fd ≤FCK + RT (RT — сопротивление сил трения о корпус корабля потоку), то прохождение этого участка пути невозможно. Расчеты показывают, что величина скользящей силы, действующей на судно водоизмещением 100 тыс. — 150 тыс т, может достигать в проливе 15-25 т, что при скорости 7-8 узлов приводит к потере скорости в 2 -3 узла.

Рулевыми усилиями на судах большой грузоподъемности являются силы давления на рули и силы тяги подруливающих устройств. Рулевое усилие Pv в случае руля за винтом можно определить по формуле:

Py=52r1CpSpu3cp(xp+β), форма. 25

где:

• r1 — поправочный коэффициент, учитывающий влияние сопротивления корпуса, r1≈1,2, Ср — коэффициент, зависящий от относительного удлинения руля λ = hp/lp (здесь hp — высота, lp — длина руля);
• Cp — определяется по графику, (рис. 12, а);
• SP – площадь руля, м2;
• vp – средняя скорость течения воды на руле, м/с;
• αp — угол поворота руля, °;
• β – угол сноса, °.

Рис. 10 Для определения усилия тяги на перо руля:
а — корабль водоизмещением 180 тысяч тонн; б — рулевая мощность танкера

Танкеры типа «Крым» и другие крупнотоннажные суда оснащены водометными движителями (ВПУ). Рабочим органом ВЭУ является осевой насос, всасывающий воду и затем выбрасывающий ее через одну из двух форсунок, расположенных перпендикулярно бортам. Тормозная сила ВПУ на танкере «Крым» составляет 57,8 кН. Стоп-значение изменяется путем закрытия поперечных каналов с помощью вентилей. Время смены направления остановки с одной стороны на другую не более 30 с.В настоящее время разработан нормированный ряд ВПУ, приведенный в табл. 2.

На очень малых скоростях обычные рули малоэффективны. Существующие носовые ВПУ эффективны при скорости корабля равной нулю или менее 3 узлов. ВПУ не только помогают сократить время на выполнение ряда маневров, но и при плавании в узких пространствах, проливах, реках, каналах могут оказать штурману неоценимую помощь при переходе от других судов, когда необходимо снизить ход до минимума или остановки при постановке на якорь, особенно при ветре и в других случаях.

Из сравнения сил тяги, создаваемой ВПУ, с силами ветра можно сделать вывод, что для гарантированного управления судами большой вместимости при сильном ветре существующие ВПУ имеют недостаточную тягу. Возмущающие силы под действием турбулентности трудно рассчитать. Как показывают исследования Д. Н. Ньюмена, сила от действия волн может быть выражена следующим соотношением:

Fyα=KyDh2вλ2в, Форма. 26

где:

• КУ — коэффициент, равный 0,05 (зависит от глубины воды);
• D – водоизмещение корабля;
• hB – высота волны, м;
• λВ – длина волны, м.

Короткие волны, почти полностью гасимые кораблем, передают ему почти всю свою кинетическую энергию, в результате чего возникает значительное давление в направлении распространения волны, в то время как длинные волны возбуждают только колебательные движения, не создавая горизонтального давления.

Крутящий момент, создаваемый волной FM.B, можно выразить следующим образом:

Fm.a = KmDh2vλ2vsinψn, Форма. 27

где:

• Km – коэффициент крутящего момента;
• ψВ — угол атаки волны, °.

При волнении, направленном в корму, FМ.В достигает максимального значения и кораблю трудно удерживать курс. Большие корабли очень чувствительны к длинным волнам с точки зрения их влияния на стабилизацию курса.

Уравнения движения корабля в неинерциальной системе отсчета. Для рассматриваемого случая движение точки mi, расположенной на диаметральной плоскости корабля, можно рассматривать как сложное движение: движение относительно неинерциальной системы отсчета и переносное движение относительно инерциальной системы отсчета. Тогда в силу общих геометрических свойств сложного движения абсолютное ускорение точки mi будет равно:

ωiabs=ωiota+ωiper. Форма. 28

Основываясь на втором законе Ньютона, мы можем написать miωiabs=Fi, или

mi(ωioτ1+ωiper)Fi. Форма. 29

Второе соотношение можно переписать следующим образом:

mi ωioτ=Fi–miωiper. Форма тридцать

Формулу 30 можно интерпретировать как обзор закона Ньютона применительно к неинерциальной системе отсчета. Второй член в правой части формулы 30 имеет размерность силы. На основании этой формулы и разложив массу точки mi на всю массу сосуда с учетом соответствующих добавленных масс воды, можно записать уравнения движения сосуда в неинерциальной системе отсчета:

m(1+λ11)duxdt–m(1+λ22)ωuy=ΣFx;m(1+λ22)duydt+m(1+λ11)ωux=ΣFy;J(1+λ66)dωdt+m(λ22–λ11) uxuy=ΣMz. Форма. 31

В левой части уравнений стоят члены инерции, в правой — силы и моменты неинерционной природы. Интегрируя систему (формула 31), можно найти три функции v (t), β(t), ω (t). В свою очередь, эти функции позволяют определять изменения курсового угла φ(t) и угла скорости ψ(t). Кроме того, по значениям v(t), ψ(t) и β(t) можно определить координаты центра тяжести судна x(t) и y(t) и на их На основе построить траекторию движения судна в горизонтальной плоскости.